강의 18
임의 프로세스의 개념입니다. 랜덤 프로세스의 특성.
고정 랜덤 프로세스.
독립적인 증분으로 무작위 프로세스
정의.
랜덤 프로세스확률 공간에 주어진 확률 변수의 가족이라고합니다. 
, 어디 
현재 시간입니다. 많은 
매개변수 값 
~라고 불리는 랜덤 프로세스의 정의 영역, 그리고 세트 
가능한 값 
– 임의 프로세스의 값 공간.
랜덤 프로세스는 결정적 프로세스와 달리 미리 예측할 수 없습니다. 무작위 과정의 예로 입자의 브라운 운동, 전화 교환의 작동, 무선 공학 시스템의 간섭 등을 고려할 수 있습니다.
범위가 
랜덤 프로세스는 유한하거나 셀 수 있는 시간 판독값 세트를 나타내는 경우 다음과 같이 말합니다. 
– 이산 시간이 있는 임의 프로세스또는 무작위 시퀀스(체인), 정의의 도메인인 경우 
다음은 연속체입니다. 
~라고 불리는 연속 시간이 있는 임의 프로세스.
그 공간의 경우 
랜덤 프로세스의 값이 유한 또는 셀 수 있는 집합이면 랜덤 프로세스가 호출됩니다. 이산. 만약 공간이 
임의의 프로세스의 값이 연속체이면 임의의 프로세스를 호출합니다. 마디 없는.
실제 기능 
일부 고정 값에 대해 
~라고 불리는 구현또는 랜덤 프로세스의 궤적. 따라서 임의의 프로세스는 가능한 모든 구현의 모음입니다. 즉, 
, 여기서 구현 표시기 
셀 수 있는 실수 집합 또는 연속체에 속할 수 있습니다. 결정적 프로세스에는 주어진 함수로 설명되는 단일 구현이 있습니다. 
.
고정에서 
우리는 일반적인 확률 변수를 얻습니다 
, 라고 불리는 랜덤 프로세스 단면당시 
.
일변량 분포 함수랜덤 프로세스 
고정된 
함수라고 하는
,
.
이 함수는 고정된 궤적 세트의 확률을 지정합니다. 
지점 아래로 지나가다 
.
~에 
1차원 분포 함수의 정의(5.1.1)에서 평등은 점 사이의 "게이트"를 통과하는 궤적 집합의 확률을 지정합니다. 
그리고 
.
이변량 분포 함수랜덤 프로세스 
고정시 
그리고 
함수라고 하는
,
.
이 함수는 포인트 아래를 동시에 통과하는 여러 궤적의 확률을 지정합니다. 
그리고 
.
비슷하게 
-차원 분포 함수랜덤 프로세스 
고정시 
평등에 의해 정의됩니다
모든 
~에서 
.
이 함수가 충분히 미분 가능한 경우 
-
차원 접합 확률 밀도랜덤 프로세스 
형태가 있다
.
분포 함수 또는 확률 밀도는 랜덤 프로세스 자체를 더 완벽하게 설명할수록 
. 이러한 기능은 이 프로세스의 고정된 섹션 간에만 연결을 고려합니다. 모든 집합이 
- 차원 분포 법칙 또는 
- 임의의 차원 확률 밀도 
. 이 경우 분포 함수는 다음을 만족해야 합니다. Kolmogorov의 대칭 및 일관성 조건. 대칭 조건은 
모든 쌍에 대한 대칭 함수입니다. 
,
, 예를 들어,
일관성 조건은 다음을 의미합니다.
그건 
- 랜덤 프로세스의 차원 분포 법칙 
하위 차원의 모든 분포 법칙을 결정합니다.
랜덤 프로세스의 다양한 특성을 고려해보자.
정의.
수학적 기대또는 랜덤 프로세스의 평균값
함수라고 하는
,
어디 
는 랜덤 프로세스의 1차원 확률 밀도입니다. 기하학적으로 수학적 기대치는 임의의 프로세스의 궤적이 그룹화되는 특정 곡선에 해당합니다.
정의.
랜덤 프로세스의 분산
함수라고 하는
따라서 임의 프로세스의 수학적 기대값과 분산 
1차원 확률 밀도에 의존하고 시간의 비-랜덤 함수 
. 무작위 프로세스의 분산은 평균값에 대한 궤적의 분산 정도를 나타냅니다. 
. 분산이 클수록 궤적의 확산이 커집니다. 분산이 0이면 랜덤 프로세스의 모든 궤적 
수학적 기대치와 일치 
, 프로세스 자체가 결정적입니다.
정의.
상관 함수
랜덤 프로세스 
평등에 의해 정의됩니다
어디 
는 랜덤 프로세스의 2차원 확률 밀도입니다.
상관 함수 
임의 프로세스의 세로 좌표 간의 연결 정도를 나타냅니다. 
두 시점 동안 
그리고 
. 또한 상관 함수가 클수록 랜덤 프로세스의 궤적이 더 부드러워집니다. 
, 그 반대.
상관 함수에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
십 . 대칭: , 
.
2 0 .
,
.
이러한 속성은 확률 변수 공분산의 해당 속성을 따릅니다.
수학적 기대치와 상관함수를 기반으로 무작위 과정을 연구하는 이론을 상관 이론. 상관 이론 방법의 도움으로 주로 자동 조절 및 제어의 선형 시스템을 조사합니다.
정의.
랜덤 프로세스 
,
, 라고 한다 변화 없는좁은 의미에서 확률 변수의 공동 분포가
그리고 , 
동일하고 의존하지 않는다 
, 그건
여기에서 까지 
- 차원 확률 밀도, 관계
1차원 확률 밀도의 경우를 고려하고 이 관계에서 가정합니다. 
, 우리는 . 여기에서 정상 랜덤 프로세스의 경우 수학적 기대에 대한 다음 표현식을 찾습니다.
.
유사하게, 2차원 확률 밀도의 경우, 
가져 오기 . 따라서 상관 함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
어디 
.
따라서 좁은 의미의 정상 랜덤 프로세스의 경우 수학적 기대치는 상수 값이고 상관 함수는 인수의 차이에만 의존합니다. 즉, 상관 함수가 대칭이기 때문입니다.
정의. 일정한 수학적 기대값과 인수의 차이에만 의존하는 상관 함수를 갖는 임의의 프로세스를 호출합니다. 랜덤 프로세스, 넓은 의미에서 고정. 좁은 의미에서 고정되어 있는 임의의 과정은 넓은 의미에서도 고정되어 있음이 분명합니다. 의 반대 진술 일반적인 경우잘못된.
정상 랜덤 프로세스의 상관 함수는 다음과 같은 속성을 가집니다.
1 0 .
, 즉, 함수 
- 조차.
이십 . 공정한 불평등 
.
서른 . 정상 랜덤 프로세스의 분산에 대해 
공정한 비율.
허락하다 
,
는 시간에 연속적인 고정 랜덤 프로세스입니다. 
, 수학적 기대와 함께 
및 상관 함수 
.
정의.
표시된 기능 
그리고 관계에 의해 결정
,
~라고 불리는 스펙트럼 밀도.
스펙트럼 밀도를 알고 있는 경우 
, 그런 다음 푸리에 변환을 사용하여 상관 함수를 찾을 수 있습니다.
.
마지막 두 개의 평등은 다음과 같습니다. Wiener-Khinchin 공식.
역 푸리에 변환의 존재에 대해 적분이 존재하는 것으로 충분하다는 것은 명백합니다. 
, 즉 구간에 대한 절대 적분성 
상관 함수 
.
스펙트럼 밀도는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 
정상 랜덤 프로세스는 짝수 함수입니다. 즉, 
.
왜냐하면 
가 짝수 함수이면
,
.
이 공식과 상관 함수의 정의에서 
정상 랜덤 프로세스의 분산은 다음과 같습니다. 
와 동등하다
.
랜덤 프로세스가 전류 또는 전압의 변동인 경우 전류 또는 전압의 제곱의 평균값인 랜덤 프로세스의 분산은 이 프로세스의 평균 전력에 비례합니다. 따라서 스펙트럼 밀도는 마지막 평등에서 따릅니다. 
이 경우 원형 주파수 단위당 전력 밀도를 특성화합니다. 
.
실제로 스펙트럼 밀도 대신 
자주 사용 정규화된 스펙트럼 밀도 
동일
.
그러면 쉽게 볼 수 있듯이 소위 정규화된 상관 함수및 정규화된 스펙트럼 밀도 
직접 및 역 푸리에 변환에 의해 관련됩니다.
,
.
가정 
그리고 주어진 
, 우리는
.
스펙트럼 함수의 패리티를 고려하면 다음을 얻습니다.
,
즉, 아래에서 축으로 경계를 이루는 총 면적 
정규화된 스펙트럼 밀도의 플롯 위는 1과 같습니다.
정의.
랜덤 프로세스 
,
, 라고 한다 독립적인 증분으로 처리, 어떤 경우 
,
,
, 확률 변수
,
,
…,
독립적인.
이 경우 서로 다른 확률 변수 쌍에 대해 상관 함수는 0과 같습니다.
확률 변수가 쌍으로 상관 관계가 없으면 확률 프로세스 
~라고 불리는 상관 관계가 없는 프로세스또는 직교 증분.
확률 변수는 독립적이므로 상관 관계가 없습니다(직교). 따라서 독립 증분이 있는 프로세스는 직교 증분이 있는 프로세스입니다.
허락하다 
는 직교 증분을 갖는 랜덤 프로세스입니다. 다음을 위해 
우리는 얻는다
확률변수 때문에 
그리고 
직교.
유사하게, 언제 
우리는 그것을 얻는다.
따라서 상관 함수 
직교 증분이 있는 임의 프로세스에는 속성이 있습니다.
헤비사이드 함수 적용하기 
, 상관 함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
1.1.1. 가우스 확률 과정
가우스 , 모든 유한 차원 분포가 정규이면, 즉,
t 1 , t 2 ,… ,t n 
티
임의의 벡터
(X(t1);X(t2);…;X(tn))
분포 밀도는 다음과 같습니다.
,
여기서 a i =MX(t i); 
=M(X(t i)-a i) 2 ; ij =M((X(ti)-a i)(X(t j)-a j)); 
;
-ij 가 있는 요소의 대수적 보수.
1.1.2. 독립적인 증분이 있는 무작위 프로세스
독립적인 증분으로 , 겹치지 않는 시간 간격의 증분이 서로 의존하지 않는 경우:
t 1 , t 2 ,… ,t n 
T:t 1 ≤t 2 ≤… ≤t n ,
랜덤 변수
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); …; X(tn)-X(tn-1)
독립적인.
1.1.3. 상관 관계가 없는 증분이 있는 임의 프로세스
랜덤 프로세스 X(t)를 프로세스라고 합니다. 상관없는 증분, 다음 조건이 충족되는 경우:
1)
티 
T: MX 2(t)< ∞;
2)
t1, t2, t3, t4 
T:t 1 ≤t 2 ≤t 3 ≤t 4: М((X(t 2)-X(t 1))(X(t 4)-X(t 3)))=0.
1.1.4. 고정 확률 과정(5장 참조)
1.1.5. 마르코프 확률 과정
우리는 정의에 자신을 제한 마르코비안 이산 상태 및 이산 시간(마르코프 체인)이 있는 임의 프로세스.
시스템 A가 호환되지 않는 상태 A 중 하나에 있게 하십시오.
1
; 하지만
2
;…;하지만
N
, 그리고 확률 P
아이
(
에스
) 그 안에
에스
th 테스트, 시스템은 상태에서 통과 
상태 A
제이
, 이전 테스트의 시스템 상태에 의존하지 않음
에스
-1번째. 이러한 유형의 무작위 프로세스를 마르코프 체인이라고 합니다.
1.1.6. 포아송 랜덤 프로세스
랜덤 프로세스 X(t)는 푸아송 다음 속성이 있는 경우 매개변수 a(a>0)를 사용하여 처리합니다.
1) 티 
티; T= 및 상관 함수 K x (t 1 ,t 2)는 매개변수의 분포를 고유하게 결정하므로 전체 프로세스가 됩니다.
고정 랜덤 프로세스(시간적으로 균일한 랜덤 프로세스)는 통계적 특성이 시간에 따라 일정하며, 즉 단기 섭동에 불변인 랜덤 프로세스 X(t)입니다. t → t + τ, X(t) → X(t + τ) 고정 값 τ에 대해. 프로세스는 수학적 기대치 M과 상관 함수에 의해 완전히 결정됩니다.
K x (t,τ) = M.
마르코프 랜덤 프로세스- 이것은 미래에 어떤 상태에서 시스템을 찾을 확률이 주어진 시간에 시스템이 어떤 상태에 있는지에 의존하고 시스템이 이 상태로 이동한 방법에 의존하지 않는 임의의 프로세스입니다. 요컨대, 프로세스의 "미래"와 "과거"는 알려진 "현재"를 감안할 때 서로 연결되어 있지 않습니다. 종종 Markov 프로세스는 시스템이 한 상태에서 다른 상태로 전환될 확률(전환 확률)을 특징으로 합니다.
시스템의 기술적 상태 변경
이미 언급했듯이 기술 상태를 예측하는 작업은 가장 일반적인 의미에서 현재 및 과거 상태의 제어 데이터를 기반으로 미래의 시스템 성능에 대한 일부 확률적 특성을 얻는 것입니다.
임의 프로세스의 특성에 따라 예측, 신뢰성 예측(제어 후 시스템의 무고장 동작의 조건부 확률 밀도 결정) 및 기술적 조건 예측(정의된 값의 조건부 확률 분포 밀도 결정) 매개변수)는 과거 및 현재 상태에 따라 구분됩니다. 그림 8.1은 이러한 특성의 차이점을 보여줍니다. 이 그림에서 x(t)는 허용 가능한 변경 경계(a, b)가 있는 시스템의 일부 정의 매개변수의 시간 변화를 설명하는 무작위 프로세스 X(t) 구현의 한 부분입니다. 구현 세그먼트는 시간 간격(0, t k 2) 동안 주어진 시스템 클래스에서 특정 시스템 인스턴스를 관찰한 결과로 획득됩니다. 순간 t k 2에서 시스템의 마지막 제어가 수행되었으며 이를 기반으로 다음 제어 순간 t k 3이 발생하기 전에 시스템이 작동에 적합한지 여부를 결정할 필요가 있습니다.
쌀. 8.1 무고장 작업의 조건부 확률 밀도 p(x(t)) 및 f((x(t)) 결정 매개변수 값의 조건부 확률 분포 밀도
시스템에 의해 감지되는 외부 영향이 무작위적인 특성을 갖는다는 사실 때문에 t k 2 순간 이후의 무작위 프로세스는 다른 방식으로 변경될 수 있습니다(그림 8.1의 점선 참조). 간격 (0,t k 2)에서 구현이 특정 형식 x(t)를 갖는다면 일부 초기 프로세스의 연속인 프로세스를 호출합니다. 가정 어구, 또는 사후, 무작위 프로세스:
Xps(t)=x. (8.5)
따라서 시스템의 차기 제어를 위한 기간 지정에 대한 정보에 입각한 결정을 내리기 위해서는 사후 랜덤 프로세스의 특성을 알아야 합니다. 시스템은 작업 수행에 적합한 것으로 간주되며, 결정 매개변수는 이전 제어 시점에서 허용 가능한 한계(a, b) 내에 있으며 지정된 작동 기간이 끝날 때까지 이러한 한계를 초과하지 않습니다. 허용 가능한 경계를 넘어 정의 매개변수의 출력은 무작위 이벤트이기 때문에 시스템 성능 평가는 제어 후 무고장 작동의 조건부 확률이 될 수 있습니다. 이것은 랜덤 프로세스가 다음 이후에 경계 (a, b)를 절대 넘지 않을 확률입니다. 통제의 순간; 그들은 그녀를 부른다 예측된 신뢰도시스템 및 표시
P(x(t)=<<(ba)/X(t)=x(t), 0< 따라서 신뢰성 예측은 제어 시점에 시스템이 고정된 작동 가능한 상태에 있는 경우 시스템의 무고장 작동에 대한 조건부 확률을 결정하는 것입니다. 시스템의 미래 기술 상태의 가장 완전한 특성은 정의 매개 변수의 확률 분포의 조건부 밀도, 즉 무작위 프로세스의 미래 값입니다. f(x(t k 3)/X(t)=x(t), 0< 간격 (0,t k 3)에서 프로세스의 구현이 특정 형식을 갖는다면 (그림 8.1). 이전 단락에 제공된 일반 정의의 적용은 몇 가지 특징적인 무작위 프로세스에 대해 아래에 설명되어 있습니다. 심볼에 의한 랜덤 프로세스의 지정과 함께 시간의 랜덤 함수라는 의미로 같은 의미로 사용될 것이다. 이전과 마찬가지로 임의 함수의 구현을 나타냅니다. 신호를 정의하는 표현식을 입력하십시오. 주파수와 초기 위상은 결정적이며 일정한 값이며 진폭 A는 무작위이며 0에서 값까지의 범위에서 동일할 수 있습니다(그림 4.2). 고정된 시간에 대한 1차원 확률 밀도를 구해 봅시다. 순시 값은 0에서 까지의 범위에 있을 수 있으며 . 따라서, 쌀. 4.2. 무작위 진폭을 갖는 고조파 진동 세트 쌀. 4.3. 무작위 진폭을 갖는 조화 진동의 확률 밀도 고정 값에 대한 함수의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 4.3. 수학 기대치 마지막으로 분산 고려 중인 확률적 프로세스는 고정적이지 않고 에르고딕하지 않습니다. 고조파 신호의 진폭과 주파수를 미리 확실히 알고 초기 위상을 ~에서 ~까지의 범위에서 동일한 확률로 모든 값을 취할 수 있는 랜덤 변수로 둡니다. 이것은 초기 단계의 확률 밀도를 의미합니다. 쌀. 4.4. 임의의 위상을 갖는 고조파 진동 세트 무작위 위상(그림 4.4)이 있는 고조파 진동 세트에 의해 형성된 무작위 프로세스의 구현 중 하나는 다음 식으로 정의할 수 있습니다. 진동의 전체 위상은 확률 변수이며 에서 까지의 범위에서 동일할 수 있습니다. 따라서, 쌀. 4.5. 무작위 위상을 갖는 조화 진동의 확률 밀도의 정의 쌀. 4.6. 무작위 위상을 갖는 조화 진동의 확률 밀도 랜덤 프로세스의 1차원 확률 밀도를 구해 봅시다. 간격(그림 4.5)을 선택하고 신호의 순시 값까지의 시간 간격에서 수행된 측정 동안 이 확률은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 여기서 은 원하는 확률 밀도 . 확률은 진동의 무작위 위상이 그림 2에서 빗금친 두 가지 중 하나에 속할 확률과 일치한다는 것이 분명합니다. 4.5 위상 간격. 이 마지막 확률은 그러므로, 원하는 기능 따라서 마침내 이 함수의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 4.6. 1차원 확률 밀도는 시간 t의 선택과 집합에 대한 평균에 의존하지 않아야 합니다( 의 (2.271.7) 참조). 시간 평균과 일치 (이는 고려 중인 임의 프로세스의 모든 구현에 해당됩니다.) 이 경우 상관 함수는 2차원 확률 밀도에 의존하지 않고 집합에 대해 곱을 평균화하여 얻을 수 있습니다[참조. 일반식(4.8)]. (4.8)로 대체 또한 첫 번째 항이 결정론적 양이고 두 번째 항이 1차원 확률 밀도를 사용하여 통계적으로 평균된다는 점을 고려합니다[참조. (4.22)] 사라지고, 우리는 얻는다 프로세스의 모든 구현에 대해 시간이 지남에 따라 제품을 평균화할 때 동일한 결과가 얻어집니다. 시간 축에서 간격의 위치에서 의 평균값과 상관 함수의 독립성을 통해 고려 중인 프로세스를 정상 상태로 간주할 수 있습니다. 세트 및 시간에 대한 평균화 결과의 일치(모든 실현에 대해)는 프로세스의 에르고딕성을 나타냅니다. 유사하게, 임의의 진폭과 임의의 위상을 갖는 조화 진동이 정지를 형성하지만 에르고딕 과정은 형성하지 않는다는 것을 쉽게 보여줍니다(다른 구현은 다른 분산을 가짐). 확률 변수의 정규(가우스) 분포 법칙은 본질적으로 다른 것보다 더 일반적입니다. 정상적인 프로세스는 특히 통신 채널 간섭에 일반적입니다. 분석에 매우 편리합니다. 따라서 분포가 정규 프로세스와 크게 다르지 않은 무작위 프로세스는 종종 가우스 프로세스로 대체됩니다. 정규 과정의 1차원 확률 밀도는 다음과 같이 주어진다. 이 섹션에서는 고정 및 에르고딕 가우스 프로세스를 고려합니다. 따라서 하나는 무작위 프로세스의 하나의 (충분히 긴) 구현의 일정한 구성 요소와 변동 구성 요소의 평균 전력을 각각 의미할 수 있습니다. 일부 값에 대한 정규 법칙에 따른 확률 밀도 그래프가 그림 1에 나와 있습니다. 4.7. 함수는 평균값에 대해 대칭입니다. 최대값이 적을수록 곡선은 더 평평해집니다[곡선 아래의 면적은 의 값에 대해 1과 같습니다. 자연에서 정규 분포 법칙의 넓은 분포는 충분히 많은 수의 독립 또는 약하게 종속된 확률 변수를 합산할 때 합계 분포가 개별 항의 모든 분포에 대해 정규에 가깝다는 사실에 의해 설명됩니다. A. M. Lyapunov가 1901년에 공식화한 이 명제는 중심극한정리라고 불렸습니다. 정규 분포 법칙이 있는 무작위 프로세스의 명확한 물리적 예는 전자 장치의 샷 효과로 전기 회로의 도체에서 자유 전자의 열 운동으로 인해 발생하는 노이즈입니다(7.3절 참조). 쌀. 4.7. 정규 분포의 1차원 확률 밀도 쌀. 4.8. 분포(정규)는 같지만 주파수 스펙트럼이 다른 랜덤 함수 잡음과 간섭뿐만 아니라 많은 수의 비임의 기본 신호의 합인 유용한 신호(예: 임의의 위상 또는 진폭을 갖는 고조파 진동)도 종종 가우시안 임의 프로세스로 해석될 수 있습니다. 이 기능을 기반으로 특정 레벨 간격에서 신호의 상대적인 체류 시간, 평균 제곱근(피크 계수)에 대한 최대값의 비율 및 임의 신호의 기타 여러 매개변수를 찾을 수 있습니다. 연습에 중요합니다. 그림 1에 표시된 가우스 프로세스의 구현 중 하나의 예를 사용하여 이를 설명하겠습니다. 4.8, 그리고 이 시간의 함수는 잡음 간섭에 해당하며, 그 에너지 스펙트럼은 0 주파수에서 일부 차단 주파수까지 확장됩니다. 값 x(t)가 a에서 b까지의 구간에 머무를 확률은 식 (4.1)에 의해 결정됩니다. 이 식에 (4.28)을 대입하면 , 우리는 다음을 얻습니다. 1장. 랜덤 프로세스 이론의 기본 개념 랜덤 프로세스의 정의. 과제에 대한 기본 접근 방식 임의의 프로세스. 실현 및 섹션의 개념입니다. 기본 랜덤 프로세스. 랜덤(확률적, 확률적) 프로세스는 실제 변수 t의 함수이며, 그 값은 해당 랜덤 변수 X(t)입니다. 랜덤 프로세스 이론에서 t는 실수 집합(t T, T R)의 일부 하위 집합 T에서 값을 취하는 시간으로 처리됩니다. 고전 수학적 분석의 틀에서 함수 y=f(t)는 인수 t의 특정 숫자 값이 함수 y의 유일한 숫자 값에 해당할 때 변수 t와 y의 종속 유형으로 이해됩니다. . 랜덤 프로세스의 경우 상황은 근본적으로 다릅니다. 특정 인수 t를 설정하면 알려진 분포 법칙(이산 랜덤 변수인 경우) 또는 주어진 분포 밀도(인 경우)가 있는 랜덤 변수 X(t)가 나타납니다. 연속 확률 변수임). 즉, 매 순간마다 연구되고 있는 특성은 본질적으로 랜덤하지 않은 분포를 갖는 랜덤이다. 일반 함수 y=f(t)가 매 순간 취하는 값은 이 함수의 구조와 속성을 완전히 결정합니다. 랜덤 프로세스의 경우 상황이 완전히 다릅니다. 여기서 t의 각 값에 대한 랜덤 변수 X(t)의 분포를 아는 것만으로는 절대 충분하지 않습니다. 예상되는 변경 사항과 그 확률에 대한 정보, 즉 이력에 대한 임의 프로세스의 다가오는 값의 의존도. 랜덤 프로세스를 설명하는 가장 일반적인 접근 방식은 다음 이벤트가 동시에 발생할 확률이 결정될 때 모든 다변량 분포를 설정하는 것입니다. t 1 , t 2 ,… ,t n T, n N: X(t i)≤
x 나는 ; i=1,2,…,n;
F(t1 ;t2 ;...;tn ;x1 ;x2 ;...;xn)=
P(X(t 1)≤x 1 ; X(t 2)≤x 2 ;… ; X(t n)≤x n).
무작위 프로세스를 설명하는 이 방법은 보편적이지만 매우 복잡합니다. 중요한 결과를 얻기 위해 가장 중요한 특수한 경우를 선별하여 보다 발전된 분석 장치를 사용할 수 있습니다. 특히, 고려하는 것이 편리합니다. 두 변수의 함수로서의 랜덤 프로세스 X(t, ω): t T, ω Ω
, t T의 고정 값에 대해 확률 공간(Ω, AA, P)에 정의된 랜덤 변수가 됩니다. 여기서 Ω은 기본 이벤트 ω의 비어 있지 않은 집합입니다. AA - 세트 Ω, 즉 이벤트 세트의 하위 집합의 σ-대수학; P는 AA에 정의된 확률 측정값입니다. 랜덤이 아닌 수치 함수 x(t)=X(t, ω 0)를 랜덤 프로세스 X(t, ω)의 실현(궤적)이라고 합니다. 랜덤 프로세스 X(t, ω)의 단면은 값 t=t 0 에 대응하는 랜덤 변수입니다. 인수 t가 실수 축의 일부 간격 T에서 모든 실제 값 또는 모든 값을 취하는 경우 임의의 프로세스를 말합니다. 지속적인 시간으로. t가 고정된 값만 취하는 경우 임의의 프로세스를 말합니다. 불연속 시간으로. 랜덤 프로세스의 단면이 이산 랜덤 변수인 경우 이러한 프로세스를 이산 상태 프로세스. 임의의 섹션이 연속 확률 변수이면 랜덤 프로세스가 호출됩니다. 연속 상태 프로세스. 일반적으로 임의의 프로세스를 지정하는 것은 분석적으로 불가능합니다. 예외는 소위 기본 랜덤 프로세스, 형식이 알려져 있고 임의 변수가 매개변수로 포함됩니다. X(t)=X(t,A 1 ,…,A n), 여기서 A i , i=1,… 실시예 1
.
임의 프로세스 X(t)=A·e - t가 고려됩니다. 여기서 A는 값(-1;0;1)을 취하는 균일하게 분포된 이산 확률 변수입니다. t≥0. 임의 과정 X(t)의 모든 구현을 묘사하고 시간 t 0 =0에서 섹션을 표시하십시오. t 1 =1; t2=2. 해결책. 이 랜덤 프로세스는 연속 시간 및 이산 상태를 갖는 프로세스입니다. t=0에서 랜덤 프로세스 X(t)의 단면은 균일하게 분포된 이산 랜덤 변수 А(-1;0;1)입니다. t=0에서 랜덤 프로세스 X(t)의 단면은 균일하게 분포된 이산 랜덤 변수 А(-1;0;1)입니다. t=1에서 랜덤 프로세스 X(t)의 섹션은 균일하게 분포된 이산 랜덤 변수(-1/e;0;1/e)입니다. t=2에서 랜덤 프로세스 X(t)의 섹션은 균일하게 분포된 이산 랜덤 변수(-1/e 2 ;0;1/e 2 )입니다. 실시예 2
.
임의 프로세스 X(t)=sin At가 고려됩니다. 여기서 A는 값(0;1;2)을 취하는 이산 확률 변수입니다. 인수 t는 이산 값(0, π/4, π/2, π)을 취합니다. 이 임의 프로세스의 모든 실현 및 섹션을 그래픽으로 표시합니다. 해결책. 이 랜덤 프로세스는 이산 시간 및 이산 상태를 갖는 프로세스입니다. 프로세스 보기 기능 보기 기능 해결책. 수학적 기대치: m Y(t)=M(Xe - t)=e - t m X =me - t . 산포: D Y(t)=D(Xe - t)=e -2 t DX=σ 2 e -2 t . 표준 편차: 상관 함수: K Y (t 1; t 2) \u003d M ((X e - t 1 -m e - t 1) × (X e - t 2 -m e - t 2)) \u003d E -(t 1+ t 2) M(X-m) 2 =σ 2 e -(t 1+ t 2) . 정규화된 상관 함수: 문제의 조건에 따라 확률 변수 X는 정규 분포를 따릅니다. t의 고정 값에 대해 단면 Y(t)는 확률 변수 X에 선형적으로 의존하며, 정규 분포의 속성에 따라 단면 Y(t)도 1차원 분포 밀도로 정규 분포를 따릅니다. : 실시예 4
무작위 과정 Y(t)=W×e - Ut(t>0)의 주요 특성을 찾으십시오. 여기서 W와 U는 독립 확률 변수입니다. U는 세그먼트에 고르게 분포되어 있습니다. W 는 기대값 m W 와 표준편차 σ W 를 가집니다. 해결책.
수학적 기대치: m Y(t)=M(We - Ut)=MW×M(e - Ut)=m w ×*M(e - Ut); 상관 함수: 왜냐하면 분산: 실시예 5
무작위 과정의 1차원 분포 법칙을 찾으십시오. Y(t)=Vcos(Ψt-U), 여기서 V와 U는 독립 확률 변수입니다. V는 매개변수(m V ; σ V)와 함께 정규 분포를 따릅니다. Ψ-상수; U-는 세그먼트에 고르게 분포되어 있습니다. 해결책.
랜덤 프로세스 Y(t)의 수학적 기대: 분산: 표준 편차: 우리는 1차원 분포 법칙의 유도로 눈을 돌립니다. 시간의 고정된 순간을 t라고 하고 확률 변수 U는 고정된 값을 취합니다. U=u - const; u , 다음과 같은 랜덤 프로세스 Y(t)의 조건부 특성을 얻습니다. M(Y(t)|U=u)=mV ×cos(Ψt-u); D(Y(t)|U=u)= ×cos2(Ψt-u); σ(Y(t)| U=u)= ×|cos(Ψt-u)|. 확률 변수 V는 정규 분포를 따르고 확률 변수 U=u의 주어진 값에 대해 모든 섹션은 선형 종속이므로 각 섹션의 조건부 분포는 정규 분포이고 다음 밀도를 갖습니다. 랜덤 프로세스 Y(t)의 무조건 1차원 밀도: 분명히, 이 분포는 더 이상 정상이 아닙니다. 수렴과 연속성 확률의 수렴. 그들은 확률 변수의 시퀀스(Х n )가 다음으로 수렴한다고 말합니다. 확률
n®¥에 대한 확률 변수 X에 대해 지정: n®¥의 경우 확률의 고전적 수렴이 1로 발생합니다. 즉, 숫자 n이 증가함에 따라 임의로 1에 가까운 확률을 보장할 수 있습니다. 그러나 동시에 임의의 큰 n 값에 대해 확률 변수 X n 값과 확률 변수 X 값의 근접성을 보장하는 것은 불가능합니다. 왜냐하면 우리는 확률 변수를 다루고 있기 때문입니다 . 확률적으로 연속적인
안에
가리키다
t 0 t 경우 3. 전력 p³1에 대한 평균 수렴. 그들은 무작위 변수의 시퀀스 (X n ) 수렴
정도의 평균
p³ 1
확률 변수 X에 대해 명칭: X n X. 특히, (X n ) 수렴 실효값
확률 변수 X에 대해 지정: 랜덤 프로세스 X(t), t T가 호출됩니다. rms에서 연속
점 t 0 T에서 4. 거의 확실하게 수렴(확률 1로 수렴). 그들은 무작위 변수의 시퀀스(X n) 거의 확실히 수렴
확률 변수 X에 대해 여기서 ωнW는 확률 공간(W, AA, P)의 기본 이벤트입니다. 지정: 약한 수렴. 그들은 확률 변수 X n의 분포 함수의 시퀀스 ( F Xn (x)) 약하게 수렴
함수 F X(x)의 각 연속성 점에서 점별 수렴이 있는 경우 확률 변수 X의 분포 함수 F X(x)로 변환합니다. 표기법: F Xn(x)Þ F X(x). 해결책. 1) 확률과정 X(t)의 수학적 기대치, 분산, 표준편차, 상관함수 및 정규화 상관함수는 다음과 같은 형태를 갖는다(참조. 실시예 3): 2) 랜덤 프로세스 X '(t)의 특성 계산을 진행합니다. 에 따라 정리 1-3우리는 얻는다: 수학적 기대값(부호 변경)을 제외하고 다른 모든 특성은 완전히 보존되었습니다. 랜덤 프로세스 X(t)와 그 도함수 X'(t)의 상호 상관 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 3) 에 따르면 정리 41-64랜덤 프로세스 X(t) 적분의 주요 특성은 다음과 같은 의미를 갖습니다. D(t1;t2)=????????????? 랜덤 프로세스 X(t)와 적분 Y(t)의 상호 상관 함수: 형태의 표현 여기서 φ ik(t), k=1;2;…-비무작위 함수; Vi , k=1;2;... - 상관관계가 없는 중심 확률 변수는 확률 과정 X(t)의 정규 확장이라고 하는 반면 확률 변수 Vi는 정규 확장의 계수라고 합니다. 및 비무작위 함수 φ ki (t) - 표준 확장의 좌표 함수. 랜덤 프로세스의 특성 고려 조건에 따라 분명히 동일한 무작위 프로세스는 좌표 기능의 선택에 따라 다른 유형의 표준 확장을 갖습니다. 또한 좌표 함수를 선택하더라도 확률 변수 V k의 분포에 임의성이 있습니다. 실제로 실험 결과를 기반으로 수학적 기대값과 상관 함수에 대한 추정값을 얻습니다. 확률 변수 V k 의 분산 D Vk 값을 구합니다. 실시예 7.
랜덤 프로세스 X(t)에는 다음과 같은 정규 확장이 있습니다. 해결책. 앞에서 얻은 일반 공식에서 다음을 얻습니다. 각 섹션에서 랜덤 프로세스 X(t)는 상관되지 않은 정규 분포 랜덤 변수 V k 의 선형 조합이기 때문에 정규 분포를 가지며 1차원 분포 밀도는 다음 형식을 갖습니다. 2차원 분포 법칙도 정상이며 다음과 같은 2차원 분포 밀도를 갖습니다. 실시예 8
랜덤 프로세스 X(t)의 수학적 기대값 m X(t) 및 상관 함수 K X(t 1 ;t 2)=t 1 t 2가 알려져 있습니다. 여기서 . 확장 계수 V k 가 정규 분포 확률 변수인 경우 좌표 함수의 관점에서 X(t)의 정규 확장을 찾습니다. 해결책. 상관 함수에는 다음 확장이 있습니다. 따라서, 왜냐하면 , 그 다음에 확률 변수 V k의 분포 밀도: 랜덤 프로세스 X(t)의 정규 확장은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 좁고 넓은 의미. 자연에서 발생하는 상당수의 사건, 특히 기술 장치의 작동과 관련된 사건은 "거의" 정상 상태입니다. . 이러한 경우 고정 랜덤 프로세스에 대해 말하는 것이 일반적입니다. 예를 들어, 조종사는 주어진 비행 고도를 유지하지만 다양한 외부 요인(돌풍, 상승 기류, 엔진 추력의 변화 등)으로 인해 비행 고도가 주어진 값을 중심으로 변동합니다. 또 다른 예는 진자의 궤적입니다. 진동을 감쇠시키는 체계적인 요인이 없다면 진자는 계속 진동하는 모드에 있을 것입니다. 그러나 다양한 외부 요인(돌풍, 서스펜션 지점의 무작위 변동 등)은 전체 진동 모드의 매개변수를 변경하지 않고 그럼에도 불구하고 움직임의 특성을 결정적이지 않고 무작위로 만듭니다. 고정(동일한 시간)은 임의의 SP 프로세스로, 통계적 특성은 시간이 지나도 변하지 않습니다. 시간과 교대에 따라 변하지 않습니다. 광의의 의미에서 고정된 임의의 프로세스 SP를 구별하십시오. 그런 조건이 충족됩니다 F(t 1 ; t 2 ;… ;t n ; x 1 ; x 2 ;...; x n)=F(t 1 +τ; t 2 +τ;… ), 결과적으로 모든 n차원 분포는 시점 t 1 에 의존하지 않습니다. t 2 ;… ;t n , n-1 시간 간격 τ i ; 특히 1차원 분포 밀도는 시간 t에 전혀 의존하지 않습니다. 시간 t 1 및 t 2에서의 2D 단면 밀도 시간 t 1 에서 단면의 n차원 밀도 ; t2 ...; 참고: 랜덤 프로세스 SP Xx(t)는 1차 및 2차 모멘트가 시간 이동에 대해 불변인 경우, 즉 수학적 기대치가 시간 t에 의존하지 않고 상수이고 상관관계가 있는 경우 넓은 의미에서 정상적이라고 합니다. 기능은 섹션 사이의 시간 간격 길이에만 의존합니다. 좁은 의미의 SSP의 stationary random process는 SSP의 stationary random process이고 넓은 의미에서 그 반대는 사실이 아니다. 프로세스 SSP 2. 3. CSP의 고정 랜덤 프로세스의 상관 함수는 짝수입니다. 다음과 같은 대칭성을 가지고 있기 때문에 4. SSP의 정상 랜덤 프로세스의 분산은 다음과 같은 상수입니다. 점에서 상관 함수의 값: 6. CSP의 정상 랜덤 프로세스의 상관 함수는 다음과 같습니다. 양의정의, 즉 정상 랜덤 프로세스 SSP의 정규화된 상관 함수 예 11.
임의 프로세스 SP Xx(t)의 유형에 대한 특성을 찾고 결론을 도출합니다. 여기서 U 1 및 b U 2 - 상관되지 않은 확률 변수 SW; 해결책. 따라서 랜덤 프로세스 X(t)는 넓은 의미에서 정상적입니다. 에서 다음과 같이 실시예 10..., U 1 과 U 2 가 독립적이고 중심을 잡고 정규 분포를 따르는 확률 변수 CB인 경우 확률 과정 SP 예 12.
…
랜덤 프로세스 SP Xx(t)가 넓은 의미에서 정상적이라는 넓은 의미의 정상성을 증명합니다. 여기서 V 및 독립 확률 변수 CB; MV=mvV - 상수; 랜덤 변수 CV이며 세그먼트에 고르게 분포되지 않습니다. 해결책. 다음과 같이 Xx(t)를 씁니다. 확률 변수는 구간에 균일하게 분포되어 있으므로 분포 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 따라서, 우리는 얻는다 랜덤 프로세스 SP Xx(t)는 수학적 기대값과 분산이 일정하고 상관 함수는 의 함수이므로 랜덤 변수 CV VM의 분포 법칙에 관계없이 랜덤 프로세스 SP X x(t)는 정상입니다. 넓은 의미에서. 고정 연결 조인트 벤처 무작위 SP 프로세스 X(t)X(t) 및 Y(t)Y(t)는 상호 상관 함수가 인수 τ =t 2 -t 1의 차이에만 의존하는 경우 정상이라고 합니다. R x XY y(t 1 ;t 2)=r x XY y(τ). 랜덤 프로세스 자체의 정상성 SP X(t) X(t)및 Y(t) Y(t)고정되어 있다는 의미는 아닙니다. SP의 정상 랜덤 프로세스의 주요 특성, SP의 정상 랜덤 프로세스의 도함수 및 적분, 1) 1) rRxXYy(τ)=rRyYXx(-τ). 2) 2) 3) 3) 어디 5) 5) 6) 6) 실시예 13
정상 랜덤 프로세스 SSP X(t)의 상관 함수 X(t)형태가 있다 랜덤 프로세스 SP X(t), X'(t)의 상관 함수, 분산, 상호 상관 함수 찾기, 해결책. 우리는 사례 분석을 값으로 제한합니다.
다음 관계식을 사용합시다. 우리는 다음을 얻습니다. 결과적으로, STS X(t)의 고정 랜덤 프로세스를 미분할 때 STS X'(t)의 고정 랜덤 프로세스로 전달되는 반면 X(t) 및 X'(t)는 고정입니다. 연결되었습니다. STS X(t)의 정상 랜덤 과정을 적분하면 STS Y(t)의 비정상 랜덤 과정이 발생하는데, 이 경우 X(t)와 Y(t)는 고정 연결되지 않는다. 그리고 그들의 특징 CSP의 고정 랜덤 프로세스 중에는 에르고딕
, 다음과 같은 속성이 있습니다. 모든 실현 집합을 평균화하여 얻은 특성은 충분히 긴 기간의 간격(0, T)에서 관찰된 하나의 실현 시간에 대해 평균화하여 얻은 해당 특성과 일치합니다.
즉, 충분히 큰 시간 간격에 걸쳐 어느구현을 통해 어느 t=0에서 시스템의 초기 상태에 관계없이 상태; 이러한 의미에서 모든 실현은 전체 실현 세트를 완전히 나타냅니다.1. 무작위 진폭을 갖는 고조파 진동
2. 임의 위상의 고조파 진동
(4.23)
3. 가우스 랜덤 프로세스
, (t>0).
.
,
그 다음에
. 좌표 함수 φ ~ (t)에서 이중 푸리에 급수로 확장한 후:
, 여기서 V k - 매개변수(0, σ to)가 있는 정규 분포의 상관되지 않은 확률 변수; m 0 (t)는 무작위가 아닌 함수입니다. 분포 밀도를 포함하여 랜덤 프로세스 X(t)의 주요 특성을 찾으십시오.
;
;
; .
.
또한 짝수, 양의 정부호이며, 더욱이,
또한 넓은 의미에서 고정적입니다.
어디 
;
.
D×X(t)=1.
