Ako už bolo uvedené, krúžok má oproti semiringu tú výhodu, že rovnica je v kruhu jednoznačne riešiteľná a + x = b pre akékoľvek prvky prsteňa a a b. Toto predovšetkým odlišuje kruh celých čísel od polomery prirodzených čísel. Možnosť vždy jednoznačne vyriešiť takúto rovnicu nám umožňuje určiť v kruhu nová prevádzka- odčítanie.

3.1.5. Definícia. Nechajte prsteň dať (TO,+,?). Pre akékoľvek a, eK definovať b-a ako riešenie rovnice a + x = b. Displej KxK -» Komu, zodpovedajúce ľubovoľnému usporiadanému páru prvkov (b>a) prvok b-a, sa volá odčítanie a prvok b-a volal rozdiel prvkov baa.

Skontrolujeme priamo, že prvok b + (-a) je riešením rovnice a + x = b, a z jedinečnosti riešenia, ktoré získame b-a \u003d b + (-a).

Pomocou konceptu rozdielu prstencových prvkov stanovujeme ešte jednu charakteristiku systému celých čísel, ktorú možno chápať aj ako jeho definíciu.

3.1.6. Veta. systém (K, +, ) je sústava celých čísel vtedy a len vtedy, keď ide o krúžok obsahujúci polopočet prirodzených čísel (N 9 +, ), kde každý prvok K môže byť reprezentovaný ako rozdielprirodzenéčísla, to znamená pre akékoľvek a e KexistujúPoP e N tak, že a = t -n.

Dôkaz. (=>) Nech K, +, ) je sústava celých čísel May K. Dokážme, že prvok a reprezentovať vo forme

rozdiely prirodzených čísel. Podľa podmienky 2) z definície 3.1.2, K = Z= N^j(0)kj-N. EcnuaeN teda a =(a+ 1)-1; ak x g(0), potom a = p-p, kde n e N; ak a e-N, potom a = -P a a = 1 - (P +1).

(K, +, ) obsahuje polomeru prirodzených čísel (N,+, ) a ľubovoľný prvok z Komu reprezentovať vo forme

rozdiely prirodzených čísel. Dokážme to Komu= ;Vu(0)u-;V = Z. Podľa predpokladu pre ľubovoľné aeK existujú t, p eN také že a \u003d t - str. Ale pre prirodzené čísla t a P platí len jedno z nasledujúcich: buď t = P + do pri niektorých do e N, alebo t = P, alebo n = t + 1 pre niektoré / e N. V prvom prípade dostaneme a \u003d m-n \u003d k e N, v druhom a = t - p= 0 € (0) a v treťom a = t - n \u003d -le -N. ?

Cvičenia

• 1. Uveďte príklady semiringov, v ktorých rovnica tvaru a+.v= h nie vždy riešiteľné.
• 2. Dokážte, že rovnica v kruhu je a + x - b má unikátne riešenie.
• 3. Uveďte príklady kruhov: komutatívne a nekomutatívne, s jednotou a bez nej, konečné a nekonečné.
• 4. Má pridanie v akomkoľvek kruhu vlastnosť kontrahovateľnosti (t.j a + c = b + c by mal a-b)1 A násobenie (je to vždy od ac = bc a s* Nasleduje 0 a \u003d by\u003e
• 5. Dokážte, že izomorfný obraz kruhu celých čísel je kruh celých čísel.
• 6. Hovorí sa, že prsteň (TO,+, ) s jednotkou e má charakteristiku 0 ak nejaké P€ L" máme nerovnosť nie * 0. Dokážte, že v kruhu charakteristiky 0 je podmnožina ( nie|« e Z J je podkruh izomorfný s kruhom celých čísel. Z toho získame ďalšiu krátku definíciu systému celých čísel: kruh celých čísel ? toto je minimálny charakteristický krúžok 0.
• 7. Nech sa dá prsteň (TO,+, > s jednotkou e. Prvok aeK volal reverzibilné, ak existuje inverzný prvok ~" také že a a~ [ = a "a=e. Dokážte, že množina invertibilných prvkov prsteňa je uzavretá pod násobením, má jednotu a pre každý prvok tejto množiny je v nej inverzný prvok. Vďaka týmto vlastnostiam je táto zostava tzv multiplikatívna skupina kruhu a označené TO*. Nájdite multiplikatívne skupiny kruhov (Z, +, > a (?R+, ).
• 8. Dokážte, že priesečník dvoch podkruhov je podkruh. Nájdite priesečníky čiastkových prstencov 2Z a 3Z, 6Z a 15Z, kZ a mZ.
• 9. Subring // komutatívneho kruhu (TO,+, > sa volá ideálne ak odolá násobeniu ktorýmkoľvek prvkom prstenca, t.j. ak pre nejaké h e H

a do eK Tvorba kh a hk patria H. Dokážte to pre akékoľvek prvky a, a2 *..."e LG, súprava H = {ka + k2 (i2 + -- + k n a n ) je ideálom prsteňa (TO,+, ), ktorý je označený (d, a 2 "-" i i > (číta sa: ideál generovaný prvkami A |, a 2, a"). At;; = 1 takýto ideál sa nazýva hlavné a označuje sa (a,). Ukáž to mZ je hlavný ideál kruhu celých čísel (Z, +, >.

10. Dokážte, že v kruhu celých čísel je každý ideál hlavný. (Uveďte. Ak H je nenulový ideál kruhu (Z, +, >, potom H = (t), kde t je najmenšie prirodzené číslo v R.)

Z kurzu programovania je známe, že celé číslo môže byť reprezentované v pamäti počítača rôznymi spôsobmi, najmä táto reprezentácia závisí od toho, ako je opísaná: ako hodnota typu integer , alebo real , alebo string . Zároveň sa vo väčšine programovacích jazykov celé čísla chápu ako čísla z veľmi obmedzeného rozsahu: typický prípad je od -2 15 = -32768 do 2 15 - 1 = 32767 . systémy počítačová algebra poradí si s veľkými celými číslami, najmä každý takýto systém dokáže vypočítať a zobraziť čísla ako 1000 v desiatkovom zápise! (viac ako tisíc znakov).

V tomto kurze budeme uvažovať o reprezentácii celých čísel v symbolickej forme a nebudeme zachádzať do podrobností o tom, koľko pamäte je alokované na zápis jedného znaku (bitu, bajtu alebo iného). Najbežnejšie je zastúpenie celých čísel v pozičné číselné sústavy. Takýto systém je určený výberom základu čísla, napríklad 10. Množina celých desatinných čísel je zvyčajne opísaná takto:

Písomná definícia celých čísel dáva jedinečnosť reprezentácie každého takéhoto čísla a podobná definícia (len možno s iným základom) sa používa vo väčšine systémov. počítačová algebra. Pomocou tejto reprezentácie je vhodné implementovať aritmetické operácie na celých číslach. Sčítanie a odčítanie sú zároveň pomerne „lacné“ operácie, kým násobenie a delenie sú „drahé“. Pri posudzovaní zložitosti aritmetických operácií by sa mali brať do úvahy náklady na elementárnu operáciu (jednobitová) a počet jednobitových operácií na vykonanie akejkoľvek operácie s viaccifernými číslami. Zložitosť násobenia a delenia je spôsobená v prvom rade tým, že so zväčšovaním dĺžky čísla (jeho zápisu v ľubovoľnej číselnej sústave) rastie počet elementárnych operácií podľa kvadratického zákona, na rozdiel od tzv. lineárny na sčítanie a odčítanie. Okrem toho to, čo zvyčajne nazývame viacmiestnym deliacim algoritmom, je v skutočnosti založené na vyčíslení (často veľmi významnej) možnej ďalšej číslice kvocientu a nestačí len použiť pravidlá delenia. jednociferné. Pri veľkej základni číselnej sústavy (často to môže byť rádovo 2 30 ) je táto metóda neúčinná.

Nech je prirodzené číslo (zapísané v desiatkovej sústave). Získať jeho záznam v -árnom číselnom systéme môžete použiť nasledujúci algoritmus ( označuje celú časť čísla):

Dané: A-prirodzené číslo v desiatkovom zápise k > 1-prirodzené číslo Potreba: A-záznam čísla A v k-desiatkovom zápise Začiatok i:= 0 cyklu, pričom A > 0 bi:= A (mod k) A:= i := i + 1 koniec cyklu dA:= i - 1 koniec

Nasledujúci algoritmus sa používa na obnovenie desatinného čísla zo sekvencie jeho k-ary notácie:

Dané: k > 1-prirodzené číslo postupnosť číslic reprezentujúcich číslo A v k-árovej sústave Potreba: A-záznam čísla A v desiatkovom zápise Začiatok A:= 0 cyklus až do konca postupnosti b:= ďalší prvok postupnosti A:= A * k + b koncová slučka Koniec

1.2. CVIČENIE. Vysvetlite, prečo sa delenie používa na prevod čísla z desiatkovej sústavy na k-číslo a násobenie sa používa na prevod z k-čísla na desatinné.

Vynásobením "stĺpcom" dvoch dvojciferných čísel v desiatkovej číselnej sústave vykonáme nasledujúce operácie:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

teda 4 operácie násobenia jednociferných čísel, 3 operácie sčítania a 2 operácie násobenia mocninou číselného základu, ktoré sú zmenšené na posun. Pri odhadovaní zložitosti je možné brať do úvahy všetky elementárne operácie bez toho, aby sme ich oddeľovali váhami (v tomto príklade máme 9 elementárnych operácií). Úloha optimalizácie algoritmu je v tomto prístupe redukovaná na minimalizáciu celkového počtu elementárnych operácií. Dá sa však uvažovať, že násobenie je „drahšia“ operácia ako sčítanie, ktoré je zase „drahšie“ ako posun. Ak vezmeme do úvahy len najdrahšie operácie, dostaneme to multiplikatívne zložitosť násobenia dvojciferných čísel „stĺpcom“ je 4.

Časť 5 sa zaoberá algoritmami na výpočet najväčších spoločných deliteľov a hodnotí ich zložitosť.

Uvažovaná reprezentácia nie je jedinou kanonickou reprezentáciou celých čísel. Ako už bolo uvedené, na výber kanonickej reprezentácie je možné použiť jedinečnosť rozkladu prirodzeného čísla na prvočísla. Takáto reprezentácia celého čísla sa dá použiť v tých úlohách, kde sa používajú iba operácie násobenia a delenia, keďže sa stávajú veľmi „lacnými“, avšak neúmerne sa zvyšujú náklady na operácie sčítania a odčítania, čo bráni použitiu takejto reprezentácie. V niektorých problémoch odmietnutie kanonickej reprezentácie poskytuje významný nárast výkonu, najmä je možné použiť čiastočnú faktorizáciu čísla. Podobná metóda je užitočná najmä pri práci nie s číslami, ale s polynómami.

Ak je známe, že počas činnosti programu sú všetky celé čísla, ktoré sa vyskytujú pri výpočtoch, obmedzené v absolútnej hodnote nejakou danou konštantou, potom môžete na nastavenie takýchto čísel použiť ich systém zvyškov v module niektorých prvočísel, súčin ktorá prekračuje spomínanú konštantu. Výpočty s triedami zvyškov sú vo všeobecnosti rýchlejšie ako aritmetika s viacnásobnou presnosťou. A pri tomto prístupe by sa aritmetika s viacnásobnou presnosťou mala používať iba pri zadávaní alebo výstupe informácií.

Všimnite si, že spolu s kanonickými reprezentáciami v systémoch počítačová algebra používajú sa aj iné reprezentácie. Predovšetkým je žiaduce, aby prítomnosť alebo neprítomnosť znamienka "+" pred celým číslom neovplyvnila vnímanie počítača. Pre kladné čísla sa teda získa nejednoznačná reprezentácia, hoci tvar záporných čísel je jednoznačne určený.

Ďalšou požiadavkou je, že vnímanie čísla by nemalo byť ovplyvnené prítomnosťou núl pred prvou platnou číslicou.

1.3. CVIČENIA.

1. Odhadnite počet jednociferných násobení použitých pri vynásobení m-ciferného čísla n-ciferným číslom stĺpcom.
2. Ukážte, že dve dvojciferné čísla je možné vynásobiť iba pomocou 3 jednociferných násobení a zvýšením počtu sčítaní.
3. Nájdite algoritmus na delenie dlhých čísel, ktorý nevyžaduje veľa enumerácie na nájdenie prvej číslice kvocientu.
4. Popíšte algoritmus na prevod prirodzených čísel z m-árnej číselnej sústavy do n-árnej.
5. AT Rímske číslovanie na písanie číslic sa používajú tieto symboly: I - jeden, V - päť, X - desať, L - päťdesiat, C - sto, D - päťsto, M - tisíc. Symbol sa považuje za negatívny, ak sa napravo od neho nachádza symbol väčšieho čísla, inak za kladný. Napríklad číslo 1948 v tomto systéme bude napísané takto: MCMXLVIII. Vytvorte algoritmus na prevod čísla z rímskeho na desatinné číslo a naopak. Implementujte výsledný algoritmus v jednom z algoritmických jazykov (napríklad C). Obmedzenia počiatočných údajov: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Sformulujte algoritmus a napíšte program na sčítanie prirodzených čísel v rímskych číslach.
7. Povieme, že máme do činenia s číselným systémom s zmiešané alebo založené na vektoroch, ak dostaneme vektor n prirodzených čísel M = (m 1 , . . . , m n) (základ) a zápis K = (k 0, k 1, . . . , k n) označuje číslo k = k 0 + m 1 (k 1 + m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). Napíšte program, ktorý na základe údajov (deň v týždni, hodiny, minúty, sekundy) určí, koľko sekúnd uplynulo od začiatku týždňa (pondelok, 0, 0, 0) = 0 a vykoná inverznú transformáciu.

V rôznych odvetviach matematiky, ako aj pri aplikácii matematiky v technike, často dochádza k situácii, keď sa algebraické operácie nevykonávajú na číslach, ale na objektoch inej povahy. Napríklad sčítanie matíc, násobenie matíc, sčítanie vektorov, operácie s polynómami, operácie s lineárnymi transformáciami atď.

Definícia 1. Prsteň je množina matematických objektov, v ktorých sú definované dva úkony – „sčítanie“ a „násobenie“, ktoré porovnávajú usporiadané dvojice prvkov s ich „súčtom“ a „súčinom“, ktoré sú prvkami tej istej množiny. Tieto akcie spĺňajú nasledujúce požiadavky:

1.a+b=b+a(komutativita sčítania).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(asociatívnosť sčítania).

3. Existuje nulový prvok 0 taký, že a+0=a, pre akékoľvek a.

4. Pre kohokoľvek a existuje opačný prvok − a také že a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(ľavicová distributivita).

5".c(a+b)=ca+cb(pravá distribúcia).

Požiadavky 2, 3, 4 znamenajú, že množina matematických objektov tvorí grupu a spolu s položkou 1 máme do činenia s komutatívnou (abelovskou) grupou vzhľadom na sčítanie.

Ako je zrejmé z definície, vo všeobecnej definícii kruhu nie sú kladené žiadne obmedzenia na násobenia, s výnimkou distribúcie s pridaním. V rôznych situáciách je však potrebné zvážiť krúžky s dodatočnými požiadavkami.

6. (ab)c=a(bc)(asociatívnosť násobenia).

7.ab=ba(komutivita násobenia).

8. Existencia prvku identity 1, t.j. taký a 1 = 1 a=a, pre akýkoľvek prvok a.

9. Pre ľubovoľný prvok prvku a existuje inverzný prvok a−1 taký, že aa −1 =a −1 a= 1.

V rôznych kruhoch 6, 7, 8, 9 môžu byť vykonávané samostatne aj v rôznych kombináciách.

Kruh sa nazýva asociatívny, ak je splnená podmienka 6, komutatívny, ak je splnená podmienka 7, komutatívny a asociatívny, ak sú splnené podmienky 6 a 7. Kruh sa nazýva jednotkový kruh, ak je splnená podmienka 8.

Príklady prsteňov:

1. Množina štvorcových matíc.

Naozaj. Splnenie bodov 1-5, 5 "je zrejmé. Nulovým prvkom je nulová matica. Okrem toho sa vykonáva bod 6 (asociativita násobenia), bod 8 (jednotkovým prvkom je matica identity). Body 7 a 9 sa nevykonávajú, pretože vo všeobecnom prípade je násobenie štvorcových matíc nekomutatívne a tiež nie vždy existuje inverzia k štvorcovej matici.

2. Množina všetkých komplexných čísel.

3. Množina všetkých reálnych čísel.

4. Množina všetkých racionálnych čísel.

5. Množina všetkých celých čísel.

Definícia 2. Nazýva sa ľubovoľná číselná sústava obsahujúca súčet, rozdiel a súčin akýchkoľvek dvoch jej čísel číselný krúžok.

Príklady 2-5 sú číselné krúžky. Číselné kruhy sú tiež všetky párne čísla, ako aj všetky celé čísla bezo zvyšku deliteľné nejakým prirodzeným číslom n. Všimnite si, že množina nepárnych čísel odvtedy nie je prsteň súčet dvoch nepárnych čísel je párne číslo.

Kruh, v ktorom je zavedený vzťah „byť väčší ako nula“ (označený a > 0), sa nazýva umiestnený krúžok, ak sú splnené dve podmienky pre niektoré prvky tohto kruhu:

1) je splnená iba jedna z podmienok

a > 0 \/ –a > 0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.

Množina, v ktorej je zavedená určitá relácia rádu – neprísna (reflexívne, antisymetricky a tranzitívne) alebo striktná (antireflexívne a tranzitívne) sa nazýva usporiadaný. Ak je splnený zákon trichotómie, potom sa volá množina lineárne usporiadaný. Ak neuvažujeme ľubovoľnú množinu, ale nejaký algebraický systém, napríklad kruh alebo pole, potom sa pre usporiadanie takéhoto systému zavedú aj požiadavky na monotónnosť vzhľadom na operácie zavedené v tomto systéme (algebraická štruktúra). Takže objednaný krúžok/pole je nenulový kruh/pole, v ktorom je zavedený vzťah lineárneho poriadku (a > b), ktorý spĺňa dve podmienky:

1) a > b = > a + c > b + c;

2) a > b, c > 0 => a c > b c;

Veta 1. Akýkoľvek umiestnený krúžok je usporiadaný systém (krúžok).

V skutočnosti, ak je do kruhu zavedený vzťah „byť väčší ako 0“, potom je tiež možné zaviesť vzťah väčší ako pre dva ľubovoľné prvky, ak predpokladáme, že

a > b  a - b > 0.

Takýto vzťah je vzťahom prísneho, lineárneho poriadku.

Tento vzťah „väčší ako“ je antireflexný, keďže podmienka a > a je ekvivalentná podmienke a - a > 0, tá je v rozpore s tým, že a - a = 0 (podľa prvej podmienky lokalizovaného kruhu, prvok nemôže byť väčší ako 0 a zároveň rovný 0). Výrok a > a je teda pre ľubovoľný prvok a nepravdivý, takže vzťah je antireflexívny.

Dokážme tranzitivitu: ak a > b a b > c, potom a > c. Podľa definície z podmienok vety vyplýva, že a - b > 0 a b - c > 0. Sčítaním týchto dvoch prvkov väčších ako nula dostaneme opäť prvok väčší ako nula (podľa druhej podmienky lokalizovaného kruhu ):

a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0.

To posledné znamená, že a > c. Zavedený vzťah je teda vzťahom prísneho poriadku. Navyše, tento vzťah je vzťahom lineárneho poriadku, teda pre množinu prirodzených čísel, trichotomická veta:

Pre akékoľvek dve prirodzené čísla platí iba jedno z nasledujúcich troch tvrdení:

Vskutku (vzhľadom na prvú podmienku umiestneného krúžku) pre číslo a - b platí jedna a len jedna z podmienok:

1) a - b > 0 => a > b

2) - (a - b) = b - a > 0 => b > a

3) a - b = 0 => a = b.

Vlastnosti monotónnosti platia aj pre akýkoľvek umiestnený prstenec. Naozaj

1) a > b => a - b > 0 => a + c - c - b > 0 => a + c > b + c;

2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (podľa druhej podmienky lokalizovaného kruhu) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc .

Takto sme dokázali, že každý umiestnený kruh je usporiadaný kruh (usporiadaný systém).

Pre každý umiestnený krúžok budú platiť aj nasledujúce vlastnosti:

a) a + c > b + c => a > b;

b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;

c) a > b / \ c< 0=>ac< bc;

Rovnaké vlastnosti platia aj pre ostatné znamenia.<, , .

Dokážme napríklad vlastnosť (c). Podľa definície z podmienky a > b vyplýva, že a - b > 0, a z podmienky c< 0 (0 >c) z toho vyplýva, že 0 - c > 0, a teda číslo - c > 0, vynásobíme dvoma kladnými číslami (a - b) (-c). Výsledok bude pozitívny aj druhou podmienkou umiestneného prstenca, t.j.

(a - b)  (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

Q.E.D.

d) aa = a 2  0;

Dôkaz: Podľa prvej podmienky lokalizovaného kruhu buď a > 0, alebo –a > 0, alebo a = 0. Zvážte tieto prípady oddelene:

1) a > 0 => aa > 0 (podľa druhej podmienky lokalizovaného prstenca) => a 2 > 0.

2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0, ale vlastnosťou kruhu (–a)(–a) = aa = a 2 > 0.

3) a \u003d 0 => aa \u003d a 2 \u003d 0.

Vo všetkých troch prípadoch je teda a 2 buď väčšie ako nula, alebo sa rovná 0, čo len znamená, že a 2 ≥ 0 a vlastnosť je dokázaná (všimnite si, že sme tiež dokázali, že druhá mocnina prvku umiestneného kruhu je 0 práve vtedy, ak samotný prvok je 0).

e) ab = 0  a = 0 \/ b = 0.

Dôkaz: Predpokladajme opak (ab = 0, ale ani a ani b sa nerovnajú nule). Potom sú pre a možné len dve možnosti, buď a > 0 alebo – a > 0 (možnosť a = 0 je podľa nášho predpokladu vylúčená). Každý z týchto dvoch prípadov sa rozdelí na dva ďalšie prípady v závislosti od b (buď b > 0 alebo – b > 0). Potom sú možné 4 možnosti:

a > 0, b > 0 => ab > 0;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a > 0, – b > 0 => ab< 0;

– a > 0 – b > 0 => ab > 0.

Ako vidíme, každý z týchto prípadov je v rozpore s podmienkou ab = 0. Vlastnosť je dokázaná.

Posledná vlastnosť znamená, že umiestnený krúžok je oblasťou integrity, ktorá je tiež povinnou vlastnosťou objednaných systémov.

Veta 1 ukazuje, že každý umiestnený kruh je usporiadaný systém. Platí to aj naopak - akýkoľvek objednaný prsteň sa nachádza. V skutočnosti, ak v kruhu existuje vzťah a > b a akékoľvek dva prvky kruhu sú navzájom porovnateľné, potom 0 je tiež porovnateľná s akýmkoľvek prvkom a, to znamená buď a > 0 alebo a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. Aby sme to dokázali, aplikujeme vlastnosť monotónnosti usporiadaných systémov: na pravú a ľavú stranu nerovnosti a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

Druhá podmienka lokalizovaného kruhu vyplýva z vlastností monotónnosti a tranzitivity:

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b > 0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.

Veta 2. Kruh celých čísel je usporiadaný kruh (usporiadaný systém).

dôkaz: Použime definíciu 2 kruhu celých čísel (pozri 2.1). Podľa tejto definície je akékoľvek celé číslo buď prirodzené číslo (číslo n je dané ako [ ], alebo opak prirodzeného (– n zodpovedá triede [<1, n / >] alebo 0 (trieda [<1, 1>]). Zavedieme definíciu „byť väčší ako nula“ pre celé čísla podľa pravidla:

a > 0  a  N

Potom je prvá podmienka lokalizovaného kruhu automaticky splnená pre celé čísla: ak je a prirodzené, potom je väčšie ako 0, ak je a opakom prirodzeného, ​​potom –a je prirodzené, to znamená, že je tiež väčšie ako 0, možný je aj variant a = 0, čo tiež robí skutočnú disjunkciu v prvej podmienke lokalizovaného kruhu. Platnosť druhej podmienky lokalizovaného kruhu vyplýva zo skutočnosti, že súčet a súčin dvoch prirodzených čísel (celých čísel väčších ako nula) je opäť prirodzené číslo, a teda väčšie ako nula.

Všetky vlastnosti usporiadaných kruhov sa teda automaticky prenesú na všetky celé čísla. Okrem toho pre celé čísla (ale nie pre ľubovoľne usporiadané kruhy) platí veta o diskrétnosti:

Veta o diskrétnosti. Medzi dve susediace celé čísla nemožno vložiť žiadne celé číslo:

( a, x  Z) .

Dôkaz: zvážte všetky možné prípady pre a a predpokladajte opak, to znamená, že existuje x také, že

a< x < a +1.

1) ak a je prirodzené číslo, potom a + 1 je tiež prirodzené číslo. Potom podľa vety o diskrétnosti pre prirodzené čísla nemôže byť žiadne prirodzené číslo x vložené medzi a a / = a + 1, to znamená, že x v žiadnom prípade nemôže byť prirodzené. Ak predpokladáme, že x = 0, potom náš predpoklad je taký

a< x < a +1

nás privedie do stavu a< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0. Potom a + 1 = 1. Ak podmienka a< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a je záporné (–a > 0), potom a + 1  0. Ak a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

to znamená, že dospejeme k situácii uvažovanej v prvom prípade (keďže -a-1 aj -a sú prirodzené), odkiaľ - x nemôže byť celé číslo, a teda x nemôže byť celé číslo. Situácia, keď a + 1 = 0 znamená, že a = -1, t.j.

–1 < x < 0.

Vynásobením tejto nerovnosti (–1) sa dostaneme k prípadu 2. Veta teda platí vo všetkých situáciách.

Terem Archimedes. Pre akékoľvek celé číslo a a celé číslo b > 0 existuje kladné celé číslo n také, že a< bn.

Pre prirodzené a je veta už dokázaná, keďže podmienka b > 0 znamená, že číslo b je prirodzené. Pre a  0 je teorém tiež zrejmý, pretože pravá strana bn je prirodzené číslo, to znamená, že je tiež väčšie ako nula.

V kruhu celých čísel (ako v každom umiestnenom kruhu) môžeme predstaviť koncept modulu:

|a| = .

Platné vlastnosti modulu:

1) |a + b|  |a| + |b|;

2) |a – b|  |a| – |b|;

3) |a  b| = |a|  |b|.

dôkaz: 1) Všimnite si, že z definície je zrejmé, že |a| je hodnota, ktorá je vždy nezáporná (v prvom prípade |a| = a ≥ 0, v druhom prípade |a| = –a, ale a< 0, откуда –а >0). Nerovnosti |a| ≥ a, |a| ≥ –a (modul sa rovná zodpovedajúcemu výrazu, ak nie je záporný, a väčší ako je, ak je záporný). Podobné nerovnosti platia pre b: |b| ≥ b, |b| ≥ -b. Sčítaním zodpovedajúcich nerovností a použitím vlastnosti (b) usporiadaných prstencov dostaneme

|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.

Podľa definície modulu

|a+b| =
,

ale oba výrazy na pravej strane rovnosti, ako je uvedené vyššie, nepresahujú |a| + |b|, čo dokazuje prvú vlastnosť modulov.

2) Nahraďme v prvej vlastnosti a za a - b. Dostaneme:

|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|

|a| ≤ |a – b| + |b|

Presunúť |b| z pravej strany doľava s opačným znamienkom

|a| – | b| ≤ |a – b| =>|a-b|  |a| – |b|.

Dôkaz o vlastnosti 3 je ponechaný na čitateľa.

Úloha: Riešte rovnicu v celých číslach

2r 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2r \u003d 5.

Riešenie: Faktorizácia ľavej strany. Na tento účel predstavujeme výraz 3xy = – xy + 4xy

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2 roky \u003d

Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x).

Naša rovnica sa teda môže prepísať ako

(y + 2x - 1) (2y - x) = 5.

Keďže to musíme riešiť v celých číslach, x a y musia byť celé čísla, čo znamená, že faktory na ľavej strane našej rovnice sú tiež celé čísla. Číslo 5 na pravej strane našej rovnice môže byť reprezentované ako súčin celočíselných faktorov iba 4 spôsobmi:

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Preto sú možné nasledujúce možnosti:

1)
2)
3)
4)

Spomedzi uvedených systémov má iba (4) celočíselné riešenie:

x = 1, y = -2.

Úlohy na samostatné riešenie

č. 2.4. Pre prvky a, b, c, d ľubovoľne umiestneného kruhu dokážte vlastnosti:

a) a + c > b + c => a > b; b) a > b / \ c > d => a + c > b + d.

č. 2.5. Riešte rovnice v celých číslach:

a) y2-2xy-2x = 6; b) 2x2 - 11xy + 12y2 = 17; c) 35xy + 5x - 7y = 1; d) x2 - 3xy + 2y2 = 3; e) ;

f) xy + 3x - 5y + 3 = 0; g) 2xy - 3y 2 - 4y + 2x \u003d 2; h) xy2 + x = 48; i) 1! +2! + 3! + … + n! = y2; j) x 3 - 2 roky 3 - 4 z 3 \u003d 0

č. 2.6. Nájdite štvorciferné číslo, ktoré je presným štvorcom a také, že jeho prvé dve číslice sú rovnaké a posledné dve číslice sú rovnaké.

č. 2.7. Nájsť dvojciferné číslo, ktorý sa rovná súčtu čísel jeho desiatok a druhej mocniny jeho jednotiek.

č. 2.8. Nájdite dvojciferné číslo, ktoré sa rovná dvojnásobku súčinu jeho číslic.

č. 2.9. Dokážte, že rozdiel medzi trojciferným číslom a číslom napísaným rovnakými číslicami v opačnom poradí nemôže byť druhou mocninou prirodzeného čísla.

č. 2.10. Nájdite všetky prirodzené čísla končiace na 91, ktoré sa po vymazaní týchto číslic znížia o celé číslo.

č. 2.11. Nájdite dvojciferné číslo, ktoré sa rovná druhej mocnine jeho jednotiek plus kocky desiatok.

č. 2.12. Nájdite šesťciferné číslo začínajúce číslom 2, ktoré sa zväčší 3-krát preskupením tohto čísla na koniec čísla.

č. 2.13. Na tabuli je napísaných viac ako 40, ale menej ako 48 celých čísel. Aritmetický priemer všetkých týchto čísel je 3, aritmetický priemer kladných čísel je 4 a aritmetický priemer záporných čísiel 8. Koľko čísel je napísaných na tabuli? Ktoré číslo je väčšie, kladné alebo záporné? Aký je maximálny možný počet kladných čísel?

č. 2.14. Môže byť podiel trojciferného čísla a súčet jeho číslic 89? Môže sa tento podiel rovnať 86? Aká je maximálna možná hodnota tohto kvocientu?

Definícia:

Súčet a súčin celých p-adických čísel definovaných postupnosťami u sú celé čísla p-adických definovaných postupnosťami u.

Aby sme si boli istí správnosťou tejto definície, musíme dokázať, že postupnosti a definujú nejaké celé čísla - adické čísla, a že tieto čísla závisia iba od výberu postupností, ktoré ich definujú, a nie od neho. Obe tieto vlastnosti sú dokázané zrejmou kontrolou.

Je zrejmé, že vzhľadom na definíciu akcií na celých - adických číslach tvoria komunikačný kruh obsahujúci kruh celých racionálnych čísel ako podkruh.

Deliteľnosť celočíselných adických čísel je definovaná rovnakým spôsobom ako v akomkoľvek inom kruhu: ak existuje také celé číslo - adické číslo, ktoré

Na štúdium vlastností delenia je dôležité vedieť, aké sú tie celé čísla - adičné čísla, pre ktoré existujú recipročné celé čísla - adičné čísla. Takéto čísla sa nazývajú jednotkové deliče alebo jednotky. Budeme ich nazývať - ​​adicové jednotky.

Veta 1:

Celé číslo je adické číslo definované postupnosťou vtedy a len vtedy, ak je jedna, kedy.

Dôkaz:

Nech je jednotka, potom existuje také celé číslo - adické číslo, že. Ak je určená postupnosťou, potom podmienka to znamená. Najmä, a teda, Naopak, nech Z podmienky ľahko vyplýva, že tak. Preto pre každé n možno nájsť také, že porovnanie je platné. Odvtedy a potom. To znamená, že postupnosť určuje nejaké celé číslo - adické číslo.Porovnania ukazujú, že t.j. čo je jednotka.

Z dokázanej vety vyplýva, že celé číslo je racionálne číslo. Za prvok krúžku sa považuje vtedy a len vtedy je jednotkou kedy. Ak je táto podmienka splnená, potom Z toho vyplýva, že každé racionálne celé číslo b je deliteľné takýmto in, t.j. že každé racionálne číslo tvaru b/a, kde a a b sú celé čísla a, je obsiahnuté v Racionálne čísla tohto tvaru sa nazývajú -celé čísla. Tvoria zrejmý prstenec. Náš výsledok môže byť teraz formulovaný takto:

Dôsledok:

Kruh celočíselných - adických čísel obsahuje podkruh izomorfný s kruhom - celočíselných racionálnych čísel.

Zlomkové p-adické čísla

Definícia:

Zlomok tvaru k >= 0 definuje zlomkové p-adické číslo alebo jednoducho p-adické číslo. Dva zlomky a, určia rovnaké p-adické číslo, ak c.

Súbor všetkých p-adických čísel označujeme p. Je ľahké skontrolovať, či operácie sčítania a násobenia pokračujú od p do p a premenia p na pole.

2.9. Veta. Každé p-adické číslo je vo forme jednoznačne zastúpené

kde m je celé číslo a je jednotkou kruhu p .

2.10. Veta. Akékoľvek nenulové p-adické číslo môže byť vo formulári jednoznačne zastúpené

Vlastnosti: Pole p-adických čísel obsahuje obor racionálnych čísel. Je ľahké dokázať, že akékoľvek celé číslo p-adické, ktoré nie je násobkom p, je invertovateľné v kruhu p, a ktoré je násobkom p, je jednoznačne zapísané v tvare, kde x nie je násobkom p, a preto je invertibilný, a. Preto každý nenulový prvok poľa p možno zapísať v tvare, kde x nie je násobkom p, ale m je ľubovoľné; ak je m záporné, potom na základe reprezentácie p-adických celých čísel ako postupnosti číslic v p-árnom číselnom systéme môžeme takéto p-adické číslo zapísať ako postupnosť, to znamená formálne ho reprezentovať ako p-adický zlomok s konečným počtom číslic za desatinnou čiarkou a prípadne nekonečným počtom nenulových číslic pred desatinnou čiarkou. Delenie takýchto čísel sa môže tiež vykonať podobne ako v "školskom" pravidle, ale začína sa skôr nižšími ako vyššími číslicami čísla.